Matemática · Ensino Fundamental
Funções afim e quadrática
Um guia pratico pra uma criança mimada. Leia na ordem, faça os exemplos junto e sinta a inteligencia chegando a cada exercício antes de abrir a resposta.
Parte 1
O que é uma função?
Pense numa máquina. Você coloca um número, ela faz uma conta e devolve outro número. Isso é uma função.
O número que entra a gente chama de x. O número que sai a gente chama de f(x), que se lê “f de x”. Raramente também chamam de y.
Digite um número, por exemplo 5 ou −2.
f(3) = 2 · 3 + 1 = 6 + 1 = 7
Quando aparecer f(5), por exemplo, é só trocar o x por 5 e fazer a conta. Escrever f(3) = 7 quer dizer: “quando entra 3, sai 7”.
Parte 2
Função afim
Toda função que tem esta “cara” é uma função afim:
- aé o número que multiplica o x (está grudado nele)
- bé o número que está sozinho
O gráfico de uma função afim é sempre uma reta.
Um exemplo da vida real
Uma corrida de aplicativo custa R$ 5 só para começar, mais R$ 2 por quilômetro. Então:
preço = 2 · (quilômetros) + 5 → f(x) = 2x + 5
| Quilômetros (x) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Conta | 2·0 + 5 | 2·1 + 5 | 2·2 + 5 | 2·3 + 5 | 2·4 + 5 |
| Preço em R$ | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
Repare: a cada quilômetro o preço sobe sempre R$ 2. Esse 2 é o a. O 5 é o b: é o que você paga mesmo andando 0 km.
Quem é o a e quem é o b?
| Função | a | b |
|---|---|---|
| f(x) = 3x + 4 | 3 | 4 |
| f(x) = −x + 7 | −1 | 7 |
| f(x) = 5 − 2x | −2 | 5 |
| f(x) = 4x | 4 | 0 |
O sinal que vem antes do número vai junto com ele. Em f(x) = 5 − 2x, o a é −2 (e não 5), porque o a é sempre quem está grudado no x, mesmo que apareça no fim.
Se aparece só x, o a é 1. Se aparece −x, o a é −1. Se não tem número sozinho, o b é 0.
A reta sobe ou desce?
Quem decide é o sinal do a. Leia o gráfico da esquerda para a direita, como um texto:
a positivo: sobe
Chamamos de crescente. Ex.: f(x) = 2x + 1
a negativo: desce
Chamamos de decrescente. Ex.: f(x) = −3x + 2
Onde a reta corta os eixos
No eixo y: a reta sempre corta no ponto (0, b). É só trocar x por 0: f(0) = a · 0 + b = b.
No eixo x: esse ponto se chama zero da função. É o valor de x que faz a conta dar zero. Para achar, iguale a função a zero e resolva a equação.
- Iguale a zero.
2x − 6 = 0
- Passe o número sozinho para o outro lado, trocando o sinal.
2x = 6
- Passe o número que multiplica o x dividindo.
x = 6 ÷ 2 = 3
Pronto: o zero de f(x) = 2x − 6 é x = 3. A reta corta o eixo x no ponto (3, 0).
Existe um atalho: o zero é sempre x = −b ÷ a. Mas resolver a equação como acima funciona sempre e é mais difícil de errar o sinal.
Agora você
1. Na função f(x) = 4x − 8: quem é o a e quem é o b? A reta sobe ou desce? Qual é o zero?
Ver resposta
a = 4 e b = −8.
Como a é positivo, a reta sobe.
4x − 8 = 0 → 4x = 8 → x = 8 ÷ 4 = 2
O zero é x = 2.
2. Na função f(x) = −3x + 9: calcule f(2) e ache o zero.
Ver resposta
f(2) = −3 · 2 + 9 = −6 + 9 = 3
−3x + 9 = 0 → −3x = −9 → x = (−9) ÷ (−3) = 3
O zero é x = 3. E como a = −3 é negativo, a reta desce.
3. Uma academia cobra R$ 50 de matrícula e R$ 80 por mês. Escreva a função do total pago depois de x meses. Quanto a pessoa paga em 6 meses?
Ver resposta
O que muda a cada mês é o 80 (esse é o a). O valor fixo é 50 (esse é o b).
f(x) = 80x + 50
f(6) = 80 · 6 + 50 = 480 + 50 = 530
Em 6 meses ela paga R$ 530.
Parte 3
Função quadrática
Agora o x aparece ao quadrado (x²). Isso muda tudo: o gráfico deixa de ser reta e vira uma curva chamada parábola.
- amultiplica o x²
- bmultiplica o x
- cé o número que está sozinho
O a nunca pode ser zero. Sem o x², a função vira afim de novo.
Na vida real: quando você joga uma bola para cima, ela sobe, para lá no alto e desce. O caminho da bola tem o formato de uma parábola. A água de um chafariz também.
Quem é a, b e c?
| Função | a | b | c |
|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 | 1 | −5 | 6 |
| −2x² + 3x + 1 | −2 | 3 | 1 |
| x² − 9 | 1 | 0 | −9 |
| 3x² + 6x | 3 | 6 | 0 |
Se um pedaço não aparece, o número dele é 0. Em x² − 9 não tem “x sozinho”, então b = 0.
Boca para cima ou para baixo?
Quem decide é, de novo, o sinal do a. Esse “jeito” da curva se chama concavidade.
a positivo: boca para cima
Parece um sorriso. Tem um ponto mais baixo (mínimo).
a negativo: boca para baixo
Parece uma carinha triste. Tem um ponto mais alto (máximo).
E o c? É onde a parábola corta o eixo y, no ponto (0, c). Mesma ideia do b na função afim.
Desenhando com uma tabela
Vamos montar o gráfico de f(x) = x² − 4x + 3. Para cada x, troque na fórmula e faça a conta:
| x | Conta | f(x) |
|---|---|---|
| 0 | 0² − 4·0 + 3 = 0 − 0 + 3 | 3 |
| 1 | 1² − 4·1 + 3 = 1 − 4 + 3 | 0 |
| 2 | 2² − 4·2 + 3 = 4 − 8 + 3 | −1 |
| 3 | 3² − 4·3 + 3 = 9 − 12 + 3 | 0 |
| 4 | 4² − 4·4 + 3 = 16 − 16 + 3 | 3 |
Olha que legal: os resultados se repetem como num espelho (3, 0, −1, 0, 3). A parábola é simétrica.
Achando as raízes com Bhaskara
As raízes (ou zeros) são os pontos onde a parábola corta o eixo x. Para achar, iguale a zero: ax² + bx + c = 0. Depois siga estes 4 passos. Vamos usar o mesmo exemplo, x² − 4x + 3 = 0.
- Ache a, b e c.
a = 1, b = −4, c = 3
- Calcule o delta (Δ).
Δ é uma letra grega. Aqui ela é só o nome do resultado desta conta:
Δ = b² − 4 · a · c
Δ = (−4)² − 4 · 1 · 3 = 16 − 12 = 4
- Olhe o delta.
- Δ > 0duas raízes (a parábola corta o eixo x em 2 pontos)
- Δ = 0uma raiz só (a parábola só encosta no eixo x)
- Δ < 0nenhuma raiz real (a parábola não toca o eixo x). Pode parar aqui.
Aqui Δ = 4, que é positivo. Então vamos achar duas raízes.
- Use a fórmula de Bhaskara.
x = −b ± √Δ2a
x = −(−4) ± √42 · 1 = 4 ± 22
O “±” quer dizer: faça uma vez com + e outra com −.
x′ = (4 + 2) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3
x″ = (4 − 2) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1
As raízes são 1 e 3. Confira na tabela lá em cima: f(1) = 0 e f(3) = 0. Bateu!
(−4)² = (−4) · (−4) = 16, que é positivo. Na calculadora, use parênteses.
Se b = −4, então −b = −(−4) = +4. Menos com menos dá mais.
O vértice: o ponto da virada
O vértice é onde a parábola faz a curva: o ponto mais baixo (boca para cima) ou o mais alto (boca para baixo). Ele tem duas coordenadas:
- Ache o x do vértice.
xv = −b2a = −(−4)2 · 1 = 42 = 2
- Ache o y do vértice: coloque esse x na função.
yv = f(2) = 2² − 4 · 2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1
O vértice é V = (2, −1). Como a boca é para cima, −1 é o menor valor que essa função consegue dar.
O x do vértice fica bem no meio das raízes: (1 + 3) ÷ 2 = 2. Dá para usar isso para conferir a conta.
Alguns livros usam yv = −Δ ÷ 4a. Dá o mesmo resultado: −4 ÷ 4 = −1.
Agora você
1. Para f(x) = x² − 6x + 8: ache a, b e c, diga para onde é a boca, calcule as raízes e o vértice.
Ver resposta
a = 1, b = −6, c = 8. Como a é positivo, a boca é para cima.
Δ = (−6)² − 4 · 1 · 8 = 36 − 32 = 4
x = (6 ± 2) ÷ 2 → x′ = 4 e x″ = 2
xv = 6 ÷ 2 = 3 e yv = f(3) = 9 − 18 + 8 = −1
Raízes: 2 e 4. Vértice: (3, −1). Repare que 3 está bem no meio de 2 e 4.
2. Para f(x) = −x² + 4x: para onde é a boca? Quais são as raízes e o vértice?
Ver resposta
a = −1, b = 4, c = 0. Como a é negativo, a boca é para baixo, então o vértice é o ponto mais alto.
Δ = 4² − 4 · (−1) · 0 = 16 − 0 = 16
x = (−4 ± 4) ÷ (2 · (−1)) = (−4 ± 4) ÷ (−2)
x′ = 0 ÷ (−2) = 0 e x″ = (−8) ÷ (−2) = 4
xv = −4 ÷ (−2) = 2 e yv = f(2) = −4 + 8 = 4
Raízes: 0 e 4. Vértice: (2, 4), o ponto mais alto.
3. A parábola de f(x) = x² + 2x + 5 corta o eixo x? Descubra só calculando o delta.
Ver resposta
Δ = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16
Delta negativo: não tem raiz real. A parábola não toca o eixo x. Como a boca é para cima, ela fica toda acima do eixo.
Parte 4
Laboratório
Mexa nos controles e veja o gráfico mudar na hora. Tente completar os 6 desafios lá embaixo.
f(x) = 2x − 4
Desafios com a reta
- Faça uma reta que desceA fazer
- Faça a reta passar pelo ponto (0, 0)A fazer
- Faça uma reta deitada, que não sobe nem desceA fazer
Desafios com a parábola
- Faça uma parábola com a boca para baixoA fazer
- Faça uma parábola que não toca o eixo xA fazer
- Faça uma parábola que só encosta no eixo x em um pontoA fazer
0 de 6 desafios feitos. Mandou bem, completou todos!
Parte 5
Resumão para revisar
Função afim
- Cara
- f(x) = ax + b
- Gráfico
- Reta
- Sinal do a
- a positivo: sobe. a negativo: desce.
- Eixo y
- Corta em (0, b)
- Zero
- Resolva ax + b = 0 (ou x = −b ÷ a)
Função quadrática
- Cara
- f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0
- Gráfico
- Parábola
- Sinal do a
- a positivo: boca para cima (mínimo). a negativo: boca para baixo (máximo).
- Eixo y
- Corta em (0, c)
- Raízes
- Δ = b² − 4ac, depois x = (−b ± √Δ) ÷ 2a
- Vértice
- xv = −b ÷ 2a, e yv = f(xv)
- Pegar o a errado quando a função está fora de ordem. Em 5 − 2x, o a é −2.
- Esquecer que (−4)² dá positivo (16).
- Errar o sinal do −b. Se b é negativo, −b fica positivo.
- Achar que delta negativo é erro de conta. Ele só quer dizer que não tem raiz real.
- Dividir só um pedaço pelo 2a. O traço da fração fica embaixo de tudo: de −b e de √Δ.